成人综合色图,无码人妻中文字幕,色综合精品

什么是回歸分析？回歸分析五個步驟分別是什么？

來源：MBA智庫百科 2020-11-23 15:58:06

分享到：

什么是回歸分析預(yù)測法?

回歸分析預(yù)測法，是在分析市場現(xiàn)象自變量和因變量之間相關(guān)關(guān)系的基礎(chǔ)上，建立變量之間的回歸方程，并將回歸方程作為預(yù)測模型，根據(jù)自變量在預(yù)測期的數(shù)量變化來預(yù)測因變量關(guān)系大多表現(xiàn)為相關(guān)關(guān)系，因此，回歸分析預(yù)測法是一種重要的市場預(yù)測方法，當我們在對市場現(xiàn)象未來發(fā)展狀況和水平進行預(yù)測時，如果能將影響市場預(yù)測對象的主要因素找到，并且能夠取得其數(shù)量資料，就可以采用回歸分析預(yù)測法進行預(yù)測。它是一種具體的、行之有效的、實用價值很高的常用市場預(yù)測方法。

回歸分析預(yù)測法的分類

回歸分析預(yù)測法有多種類型。依據(jù)相關(guān)關(guān)系中自變量的個數(shù)不同分類，可分為一元回歸分析預(yù)測法和多元回歸分析預(yù)測法。在一元回歸分析預(yù)測法中，自變量只有一個，而在多元回歸分析預(yù)測法中，自變量有兩個以上。依據(jù)自變量和因變量之間的相關(guān)關(guān)系不同，可分為線性回歸預(yù)測和非線性回歸預(yù)測。

回歸分析預(yù)測法的步驟

1.根據(jù)預(yù)測目標，確定自變量和因變量

明確預(yù)測的具體目標，也就確定了因變量。如預(yù)測具體目標是下一年度的銷售量，那么銷售量Y就是因變量。通過市場調(diào)查和查閱資料，尋找與預(yù)測目標的相關(guān)影響因素，即自變量，并從中選出主要的影響因素。

2.建立回歸預(yù)測模型

依據(jù)自變量和因變量的歷史統(tǒng)計資料進行計算，在此基礎(chǔ)上建立回歸分析方程，即回歸分析預(yù)測模型。

3.進行相關(guān)分析

回歸分析是對具有因果關(guān)系的影響因素(自變量)和預(yù)測對象(因變量)所進行的數(shù)理統(tǒng)計分析處理。只有當變量與因變量確實存在某種關(guān)系時，建立的回歸方程才有意義。因此，作為自變量的因素與作為因變量的預(yù)測對象是否有關(guān)，相關(guān)程度如何，以及判斷這種相關(guān)程度的把握性多大，就成為進行回歸分析必須要解決的問題。進行相關(guān)分析，一般要求出相關(guān)關(guān)系，以相關(guān)系數(shù)的大小來判斷自變量和因變量的相關(guān)的程度。

4.檢驗回歸預(yù)測模型，計算預(yù)測誤差

回歸預(yù)測模型是否可用于實際預(yù)測，取決于對回歸預(yù)測模型的檢驗和對預(yù)測誤差的計算。回歸方程只有通過各種檢驗，且預(yù)測誤差較小，才能將回歸方程作為預(yù)測模型進行預(yù)測。

5.計算并確定預(yù)測值

利用回歸預(yù)測模型計算預(yù)測值，并對預(yù)測值進行綜合分析，確定最后的預(yù)測值。

應(yīng)用回歸預(yù)測法時應(yīng)注意的問題

應(yīng)用回歸預(yù)測法時應(yīng)首先確定變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系。如果變量之間不存在相關(guān)關(guān)系，對這些變量應(yīng)用回歸預(yù)測法就會得出錯誤的結(jié)果。

正確應(yīng)用回歸分析預(yù)測時應(yīng)注意：

①用定性分析判斷現(xiàn)象之間的依存關(guān)系;

②避免回歸預(yù)測的任意外推;

③應(yīng)用合適的數(shù)據(jù)資料;

回歸分析預(yù)測法案例分析

案例一:回歸分析預(yù)測法預(yù)測新田公司銷售[1]

一、新田公司的發(fā)展現(xiàn)狀

新田公司全稱為新田摩托車制造有限公司，成立于1992年3月，當時的錫山市(那時還叫無錫縣)有兩個生產(chǎn)摩托車的鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)：查橋鎮(zhèn)的捷達摩托車廠和洛社鎮(zhèn)的雅西摩托車廠。在9l、92年這兩家廠可以說是如日中天，但這兩家廠又各具特點：雅西摩托車廠完全是自主生產(chǎn)，除發(fā)動機外其余配件都由本廠生產(chǎn);捷達摩托車廠則是裝配型廠，配件由其他廠家生產(chǎn)，本廠只是組裝(后來也發(fā)展成了連發(fā)動機都生產(chǎn)的綜合型企業(yè))。顧建新當時還只是一家村辦企業(yè)的供銷員，他就瞄準了摩托車行業(yè)的發(fā)展前景，于是想方設(shè)法和捷達廠取得了聯(lián)系，從1992年3月起為捷達廠生產(chǎn)兩種型號的減震器，廠名是無錫減震器廠，由此開始了企業(yè)發(fā)展的道路。

減震器廠自成立以后，隨著捷達摩托車廠摩托車年產(chǎn)量的不斷增長而得到了迅速發(fā)展。到了1994年6月，顧建新終于有了一個極好的機會：捷達摩托車廠的銷售部門和捷達摩托車的銷售商產(chǎn)生了予盾，因此捷達摩托車的銷售商答應(yīng)顧建新，若顧建新也能生產(chǎn)出和捷達差不多質(zhì)量的摩托車，則他們會在相同條件下優(yōu)先銷售顧建新生產(chǎn)的摩托車。有了這個承諾，顧建新于94年lO月就成立了新田摩托車制造有限公司，開始生產(chǎn)新田牌摩托車。

新田公司成立以后，在顧總和匡建中總工程師的領(lǐng)導(dǎo)下，開始了艱苦的創(chuàng)業(yè)過程，經(jīng)過六年多的奮斗，薪田公司終于從一個20多人的小廠發(fā)展成了如今的工人總數(shù)超過400人，日產(chǎn)摩托車超過200輛，年利潤超過2000萬的集團型企業(yè)，新田摩托車的配件包括發(fā)動機在內(nèi)都由本企業(yè)自主生產(chǎn)。

新田公司如今已是一個企業(yè)集團，除公司本部(總裝廠)外，還有減震器廠、發(fā)動機廠、塑件廠、車架車間、油箱車間、噴涂車間等獨立部門，這些部門除滿足新田公司所需配件外，還可以對外供應(yīng)。1999年底，由于摩托車市場競爭的日趨激烈，新田公司的銷售模式由代理制轉(zhuǎn)向了派員銷售制(由公司往各城市直接派出銷售人員，負責各城市的銷售工作)，以減少中間環(huán)節(jié)，確保公司產(chǎn)品在整個摩托車市場的競爭力。同時，由于銷售模式的轉(zhuǎn)變，也帶來了生產(chǎn)模式的變化：以前是根據(jù)各地代理商的訂貨量來組織生產(chǎn)，現(xiàn)在則必需根據(jù)銷售情況和對將來銷售情況的預(yù)期來組織生產(chǎn)，這給企業(yè)的生產(chǎn)組織帶來了極大的困難。

2.新田公司銷售的歷史數(shù)據(jù)及要解決的問題

新田公司自94年成立以來取得了飛躍性的發(fā)展，這可以從新田公司歷年的銷售數(shù)據(jù)中看出來。下面所附的表就是新田公司主導(dǎo)產(chǎn)品的銷售數(shù)據(jù)。(參見下面表1.2.3.4)

從表中的數(shù)據(jù)可以看出，新田公司的生產(chǎn)銷售形勢還是比較好的，從總體上來說是處于上升趨勢，但某些車型的銷售也有下降趨勢。同時，還有一些問題從銷售數(shù)據(jù)上是看不出來的。自從公司實行派員銷售制以來，由于銷售的預(yù)期值估計不準，常常出現(xiàn)工人加班加點仍趕不上交貨對間的情況和工人上了班卻無事可做的情況。顧建新總經(jīng)理和其他公司領(lǐng)導(dǎo)也都發(fā)現(xiàn)了這個問題，也找到了原因所在，但由于技術(shù)上的原因而無法解決。因此，新田公司目前急需解決的問題就是如何來進行準確可行的銷售預(yù)測，以保證公司的正常運行。

新田公司銷售量歷史數(shù)據(jù)

新田公司2001年第一季度銷售數(shù)據(jù)

XT150-T	XT150-H	XT125-C	XT125-W	XT100-W	XT100-G	XT50-K	總數(shù)
665	897	1660	1500	1529	1608	933	10372

新田公司2001年第二季度銷售數(shù)據(jù)

XT150-T	XT150-H	XT125-C	XT125-W	XT100-W	XT100-G	XT50-K	總數(shù)
668	350	1808	1581	1542	1503	1603	9862

新田公司XT50-M在無錫的銷售數(shù)據(jù)

	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
1996年	150	170	172	180
1997年	201	230	233	245
1998年	258	292	284	298
1999年	283	255	209	199
2000年	175	160	122	90

銷售量...時間散點圖

二、回歸分析預(yù)測法分析

回歸分析預(yù)測法是通過研究分析一個應(yīng)變量對一個或多個自變量的依賴關(guān)系，從而通過自變量的已知或設(shè)定值來估計和預(yù)測應(yīng)變量均值的一種預(yù)測方法。

回歸分析預(yù)測法又可分成線性回歸分析法、非線性回歸分析法、虛擬變量回歸預(yù)測法三種。這三種預(yù)測方法在新田公司銷售預(yù)測中都可以運用。

(一)線性回歸分析法的運用

線性回歸預(yù)測法是指一個或一個以上自變量和應(yīng)變量之間具有線性關(guān)系(一個自變量時為一元線性回歸，一個以上自變量時為多元線性回歸)，配合線性回歸模型，根據(jù)自變量的變動來預(yù)測應(yīng)變量平均發(fā)展趨勢的方法。

線性回歸預(yù)測法在銷售預(yù)測中用得比較多，根據(jù)新田公司銷售數(shù)據(jù)的散點圈分析，作者發(fā)現(xiàn)新田公司的XTl50～T、XTl25～C XTl25一W三種車型的銷售可以用一元線性回歸預(yù)測法進行預(yù)測，由于銷售數(shù)據(jù)是時間性序列，多元線性回歸在此不適用。

1.預(yù)測模型

由于新田公司銷售預(yù)測中只用到一元線性回歸預(yù)測法，而一元線性回歸又是一種廣泛應(yīng)用并且比較簡單的預(yù)測方法，因此，只需對一元線性回歸模型作簡單介紹。

設(shè)X為自變量，Y為應(yīng)變量，Y與X之間存在某種線性關(guān)系，一元線性回歸模型為：

$i=1,2,\ldots,n$

yi=a+bxi+ εi　　(1)

$\widehat{y}i=a+b x_i$

式中ε為各種隨機因素y的影響總和，ε − (0,σ2);y-N(a+bx,σ2)。則可設(shè)　　(2)

對此，可以通過最小二乘法來估計模型的回歸系數(shù)。根據(jù)最小平方原理，必須符合以下條件：

$\sum(yi-\widehat{y}i)^2$

=最小值　　(3)

$\sum(yi-\widehat{y}i)=0$

(4)

$Q=\sum(yi-\widehat{y}i)^2=\sum(yi-a-b x_i)^2$

根據(jù)最小二乘法要求，記

根據(jù)極值原理，為使Q具有最小值，可分別對a、b求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，即

$\frac{\partial Q}{\partial a}=-2\sum(yi-a-b x_i)=0$

$\frac{\partial Q}{\partial b}=-2\sum(yi-a-b x_i)x_i=0$

整理的：

$n a+b\sum x_i=\sum y_i$

對上兩式聯(lián)立求解，即可得到回歸系數(shù)的估計值：

$\widehat{b}=\frac{n\sum x_i y_i-\sum x_i\sum yi}{n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}$

(5)

$\widehat{a}=\frac{\sum y_i}{n}-\widehat{b}\frac{\sum x_i}{n}$

(6)

相關(guān)系數(shù)R可根據(jù)最小二乘原理及平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì)得到：

$R=\frac{n\sum x_i y_i-\sum x_i\sum y_i}{\sqrt{n\sum x^2_i-(\sum x_i)^2}\sqrt{n\sum y^2_i-(\sum y_i)^2}}$

(7)

相關(guān)系數(shù)R的絕對值的大小表示相關(guān)程度的高低。

①當R=0時，說明是零相關(guān)，所求回歸系數(shù)無效。

$\left$

②當時，說明是完全相關(guān)，自變量X與應(yīng)變量Y之間的關(guān)系為函數(shù)系。

$o<\left$

⑧當時，說明是部分相關(guān)，淵值越大相關(guān)程度越高。

另外，估計標準差Sy，和預(yù)測區(qū)間公式參見《預(yù)測與決策技術(shù)》。

$S_y=\sqrt{\frac{\sum y^2-\widehat{a}\sum y-\widehat{b}\sum xy}{n-2}}$

估計標準差：　　(8)

$\widehat{y}_0\mp i_{a/2}(n-2)S_y\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{n(x_o-\overline{x})^2}{n\sum x^2-(\sum x)^2}}$

預(yù)測區(qū)間：　　(9)

$\widehat{y}_o$

在上式中，a為顯著水平，n-2為自由度，為y在xo的估計值。

2.預(yù)測計算

根據(jù)上面介紹的預(yù)測模型，下面就先計算XTl50-T在2001年第一季度的預(yù)測銷售量。

根據(jù)XTl50-T的銷售數(shù)據(jù)有：(X為時間，Y為銷售量)。

$\sum x_i=136$

n=16;;;;;

根據(jù)公式(5)、(6)、(7)、(8)、(9)有：

$\widehat{b}=\frac{n\sum x_i y_i-\sum x_i \sum y_i}{n\sum x^2_i-(\sum x_i)^2}=36.11$

$\widehat{a}=\frac{\sum y_i}{n}-\widehat{b}\frac{\sum x_i}{n}=25.13$

$\widehat{y_i}=a+bx_i=639$

(xi= 17)

$R=\frac{n\sum x_i y_i-\sum x_i \sum y_i}{\sqrt {n\sum x^2_i-(\sum x_i)^2}\sqrt{n\sum y^2_i-(\sum y_i)^2}}=0.998$

$S_y=\sqrt{\frac{{\sum y^2-\widehat{a}\sum y-\widehat{b}\sum xy}}{{n-2}}}=9.92$

$\widehat{y}_0\mp i_{a/2}(n-2)S_y\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{n(x_o-\overline{x})^2}{n\sum x^2-(\sum x)^2}}=639\mp27$

i0.025(14) = 2.145

以上是XT150-T的銷售預(yù)測計算，同理可計算XT125-C、XT150-W的預(yù)測結(jié)果，這里不再給出計算過程而直接寫出結(jié)果：

①XTl25-C的預(yù)測結(jié)果：

$\widehat{b}=73.9$

;　;　;R=0.99　;Sy= 16.56

預(yù)測區(qū)間為：(1641，1723)(i0.025(20) = 2.086)

②XTl25-W的預(yù)測結(jié)果：

$\widehat{b}=31.9$

;　;　;R=0.99　;

Sy= 29.35

預(yù)測區(qū)間為：(1450，1596)(i0.025(20) = 2.086)

3.預(yù)測結(jié)果分析

從上面的預(yù)測結(jié)果來看，有一點非常奇怪，那就是三種車型的預(yù)測中，相關(guān)系數(shù)R都非常接近于“1”，也就是說，這三種車型的銷售量和時間基本上是線性關(guān)系，相關(guān)程度非常之高。對于這個結(jié)果，作者感到很驚訝，為此，特意找到了新田公司，詢問這三種車型的銷售狀況，這才找到了原因。原來，這三種車型是新田公司的形象產(chǎn)品，基本上沒有利潤，和其他品牌的同類車型相比具有較大的的競爭力，因而這三種車型的銷售情況一直很好。公司為了其形象，對這三種車型采取計劃供應(yīng)的方式，按逐年遞增的方式供應(yīng)市場，以使這三種車型一直保持供不應(yīng)求。由于以上原因，相關(guān)系數(shù)接近于“1”也就不奇怪了。

$\widehat{y}_i=a+bx_i$

另外，作者把通過公式計算得到的各期銷售數(shù)和實際銷售量比較發(fā)現(xiàn)，這三種車型有一個共同特點，那就是：第一季度的預(yù)測值一般要比實際值大，而第二季度則相反。第三、四季度則預(yù)測值和實際值相近。仔細分析原因，可能是因為這三種車型價格都比較高，受年終分配影響，第一季度銷量自然較大，隨后的第二季度銷量就自然偏小。

對比2001年第一季度的預(yù)測值和實際值，以及上面說到的兩個特點可以發(fā)現(xiàn)，XT150-T的預(yù)測結(jié)果比較正常，而XTl25-C、XTl25-W的預(yù)測值卻出現(xiàn)了反而比實際值大的反常情況。通過各期預(yù)測值和實際值比較發(fā)現(xiàn)，原來XTl25-W從99年第二季度開始就出現(xiàn)預(yù)測值大于實際值的情況，根據(jù)作者對摩托車市場的了解，認為可能是因為這種車型的銷路已經(jīng)出現(xiàn)問題，不能保持供不應(yīng)求了。

XTl25-C可能也是這種情況，只不過該車型的滯銷出現(xiàn)得稍稍晚而已。通過和新田公司銷售部門的聯(lián)系發(fā)現(xiàn)，作者的判斷是正確的。

(二)非線性回歸預(yù)測法的運用

非線性回歸預(yù)測法是指自變量與因變量之間的關(guān)系不是線性的，而是某種非線性關(guān)系時的回歸預(yù)測法。非線性回歸預(yù)測法的回歸模型常見的有以下幾種：雙曲線模型、二次曲線模型、對數(shù)模型、三角函數(shù)模型、指數(shù)模型、冪函數(shù)模型、羅吉斯曲線模型、修正指數(shù)增長模型。

通過對新田公司銷售數(shù)據(jù)的散點圖分析發(fā)現(xiàn)，XT100-W和XT50-K這兩種車型的圖形接近于拋物線形狀，因此可用非線性回歸的二次曲線模型來預(yù)測。

1.預(yù)測模型

$y_i=\beta_1+\beta_2x_i+\beta_3x^2_i+\epsilon_i$

非線性回歸二次曲線模型為：　　(10)

$x^2_i=x^\prime_i$

令,則模型變化為：　　(11)

上式的矩陣形式為：Y=XB+ ε　　(12)

用最小二乘法作參數(shù)估計，可設(shè)觀察值與模型估計值的殘差為E，則

$E=Y-\widehat{Y}$

，

根據(jù)小二乘法要求有：

$E^\prime E=(Y-\widehat{Y})^\prime(Y-\widehat{Y})$

=最小值，　　(13)

$E^\prime E=(Y-XB)^\prime(Y-XB)$

即：=最小值

由極值原理，根據(jù)矩陣求導(dǎo)法，對B求導(dǎo)，并令其等于零，得：

$\frac{\partial E^\prime E}{\partial B}=\frac{\partial(Y-XB)^\prime(Y-XB)}{\partial B}=\frac{\partial(Y^\prime Y-2Y^\prime X B+B^\prime X^\prime XB)}{\partial B}$

$=-2(Y^\prime X)^\prime+2(X^\prime X)B=0$

$\widehat{B}=(X^\prime X)^{-1}(X^\prime Y)$

整理得回歸系數(shù)向量B的估計值為：　　(14)

二次曲線回歸中最常用的檢驗是R檢驗和F檢驗，公式如下：

$R=\sqrt{1-\frac{\sum(y_i-\widehat{y})^2}{\sum(y_i-\overline{y})^2}}$

(15)

$F=\frac{R^2}{1-R^2}(n-3)/2$

(16)

在實際工作中，R的計算可用以下簡捷公式：

$R=\sqrt{1-\frac{\sum y^2_i-\widehat{\beta}_1\sum y_i-\widehat{\beta}_2\sum x_i y_i-\widehat{\beta}_3\sum x^\prime_i y_i}{\sum y^2_i-n\overline{y}^2}}$

(17)

估計標準誤差為：

$S=\sqrt {\frac{\sum(y_i-\widehat{y}_i)^2}{n-3}}$

(18)

預(yù)測區(qū)間為：

$\widehat{y}_o\mp i_{a/2}(n-3)$

·S (n<30)　　(19)

$\widehat{y}_o\mp Z_{a/2}$

·S (n>30)　　(20)

2.預(yù)測計算

根據(jù)上面介紹的預(yù)測模型，下面就先進行XT100-W的預(yù)測計算。

根據(jù)XTl00-W的銷售數(shù)據(jù)及(11)、(14)、(17)、(18)、(19)有(xi為時間變量)：

$X^\prime X=\begin{bmatrix}1&1&\ldots&1\\1&2&\ldots&24\\1&4&\ldots&576\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&24&576\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}24&300&4900\\300&4900&90000\\4900&90000&1763020\end{bmatrix}$

$X^\prime Y=\begin{bmatrix}36321\\526630\\8913322\end{bmatrix}$

。

$\widehat{B}=(X^\prime X)^{-1}(X^\prime Y)=\begin{bmatrix}-60.66\\244.23\\-7.25\end{bmatrix}$

$\widehat{y}_i=\widehat{\beta}_1+\widehat{\beta}_2x_i+\widehat{\beta}_3x^2_i=1514$

(x_i=25)

$\sum y^2_i=61953607$

;;;

$R=\sqrt{1-\frac{\sum y^2_i-\widehat{\beta}_1\sum y_i-\widehat{\beta}_2\sum x_i y_i-\widehat{\beta}_3\sum x^\prime_i y_i}{\sum y^2_i-n\overline{y}{2}}}=0.977$

$S=\sqrt{\frac{\sum(y_i-\widehat{y}_i)^2}{n-3}}=67.8$

$\widehat{y}_o\mp i_{a/2}$

(n-3)·　　(i0.025(21) = 2.080)

下面再計算XT50-K的預(yù)測結(jié)果。

根據(jù)XT50-K的銷售數(shù)據(jù)及公式(11) 、(14)、(17)、(18)、(19)有：

。

$(X^\prime X)^{-1}=\begin{bmatrix}0.445158103&-0.072628458&0.002470356\\-0.072628458&0.015121618&-0.000570082\\0.002470356&-0.000570082&0.000022803\end{bmatrix}$

$(X^\prime Y)\begin{bmatrix}32089\\451328\\7439514\end{bmatrix}$

$\widehat(X^\prime X)^{-1}(X^\prime Y)=\begin{bmatrix}-116.33\\253.10\\-8.38\end{bmatrix}$

$\widehat{y}_i=\widehat{\beta}_1+\widehat{\beta}_2x_i+\widehat{\beta}_3x^2_i=974(x_i=25)$

$\sum y^2_i=48243681$

;;;

$R=\sqrt{1-\frac{\sum y^2_i-\widehat{\beta}_1\sum y^2_i-\widehat{\beta}_2\sum x_i y_i-\widehat{\beta}_3\sum x^\prime_i y_i}{\sum y^2_i-n\widehat{y}^{2}}}=0.992$

$\widehat{y}_0 \mp t_{\frac{a}{2}}(n-3)\cdot S=1514\mp 141$

(t0.025(21) = 2.080)

下面再計算XT50—K的預(yù)測結(jié)果。

根據(jù)XT50---K的銷售數(shù)據(jù)及公式(11)、(14)、(17)、(18)、(19)有：

$X^\prime X=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & \cdots & 24 \\ 1 & 4 & \cdots & 576 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 24 & 576 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 24 & 3300 & 4900 \\ 300 & 4900 & 90000 \\ 4900 & 90000 & 1763020 \end{pmatrix}$

$(X^\prime X)^{-1}=\begin{pmatrix} 0.445158103 & -0.072628458 & 0.002470356 \\ -0.072628458 & 0.015121618 & -0.000570082 \\ 0.002470356 & -0.000570082 & 0.000022803 \end{pmatrix}$

$X^\prime Y=\begin{pmatrix} 32089 \\ 451328 \\ 7439514 \end{pmatrix}$

$\widehat{y}_i=\widehat{\beta}_1+\widehat{\beta}_2 x_i+\widehat{\beta}_3 x_i^2=974$

(xi= 25)

$\sum y_i^2=48243681$

;;;

$R=\sqrt{1-\frac{\sum y_i^2-\widehat{\beta}_1\sum y_i-\widehat{\beta}_2\sum x_i y_i-\widehat{\beta}_3\sum x_i^\prime y_i}{\sum y_i^2-n\overline{y}^2}}=0.992$

$S=\sqrt{\frac{\sum(y_i-\widehat{y}_i)^2}{n-3}}=56.75$

$\widehat{y}_0\mp t_{\frac{a}{2}}(n-3)\cdot S=974 \mp 118$

t0.025(21) = 2.080

3.預(yù)測結(jié)果分析

從2001年第一季度的預(yù)測結(jié)果和實際值的比較來看，預(yù)測還算是可行的，XTl00—W和XT50—K的實際銷售量均在預(yù)測范圍之內(nèi)，回歸系數(shù)也都接近于1，說明這兩種車型選取非線性回歸的二次曲線模型還是比較合適的。但是，還應(yīng)該看到，兩種車型的預(yù)測結(jié)果中估計標準差S都比較大，說明回歸曲線和實際銷售數(shù)據(jù)的擬合情況并不太好，而S數(shù)值的偏大同時也帶來了預(yù)測范圍較大的后果。因此，預(yù)測精度較差。

當然了，實際工作中不可能會有真正符合某條曲線的數(shù)據(jù)存在，只能是從散點圖來看大致符合某種曲線，就用該種曲線來進行擬合，以求大致的預(yù)測結(jié)果。因此，對于XTl00—W和XT50—K的預(yù)測還是可行的。

再進一步考慮，XTl00—W的預(yù)測值比實際值大了66，說明實際下降趨勢比預(yù)測的要小，而XT50—K的情況則剛好相反。如果排除偶然因素的話，有可能XTlOO—w銷售量的下降趨勢在減緩，而XT50—K則相反，下降趨勢在加劇。聯(lián)系實際情況，作者認為是50車型的銷量因競爭的日益加劇和政策的影響而加速下滑，而100車型則可能是由于公司的努力而減低了銷量下降的速度。作者的這個想法在后來和新田公司總工程師匡建中的交流中得到了驗證。

(三)虛擬變量回歸預(yù)測法的運用

在回歸模型分析中，有時還要考慮諸如性別、文化程度、宗教、戰(zhàn)爭、災(zāi)難、季節(jié)以及政府經(jīng)濟政策變化等品質(zhì)變量的影響。這時，可在建立回歸模型時將品質(zhì)變量引入線性回歸模型中，這種回歸預(yù)測法就是虛擬變量回歸預(yù)測法。

常見的帶虛擬變量的回歸模型有以下三種形式：

(1)反映政府政策變化或某種因素發(fā)生重大變異的跳躍、間斷式模型。

(2)具有轉(zhuǎn)折點的系統(tǒng)趨勢變化模型。

(3)含有多個虛擬變量的線性回歸模型。

虛擬變量回歸預(yù)測法的適用性一般在散點圖上明確看出。在表(1.1)中的數(shù)據(jù)都不適用。不過，作者發(fā)現(xiàn)新田公司的XT50—M在無錫的銷售倒是適合用具有轉(zhuǎn)折點的系統(tǒng)趨勢變化模型來進行預(yù)測。

1.預(yù)測模型

由于只有XT50—M在無錫的銷售適合用具有轉(zhuǎn)折點的系統(tǒng)趨勢變化模型來進行預(yù)測(見是表4)下面僅介紹具有轉(zhuǎn)折點的系統(tǒng)趨勢變化模型。

具有轉(zhuǎn)折點的系統(tǒng)趨勢變化模型為：

yi= β1+ β2xi+ β3(xi−x0)Di+ εi　　(21)

$D_i=\begin{cases} 0 & i<i_o \\ 1 & i\ge i_o \end{cases}$

式中Di為虛擬變量，Di的取值為

io為發(fā)生轉(zhuǎn)折點的時間，xo為io時間xi的觀察值。(21)可變形為：

$y_i=\begin{cases} \beta_1+\beta_2 x_i+\epsilon_i & i<i_o \\(\beta_1-\beta_3 x_o)+(\beta_2+\beta_3)x_i+\epsilon_i & i\ge i_o \end{cases}$

$(x_i-x_o)D_i=x^\prime_i$

根據(jù)(21)，可令,，則該虛擬變量回歸轉(zhuǎn)化為二元線性回歸，可用二元線性回歸的計算方法計算。

2)預(yù)測計算

經(jīng)過對散點圖觀察發(fā)現(xiàn)，1998年第四季度為轉(zhuǎn)折點，即i0= 12，由表(4)的數(shù)據(jù)及(14)、(17)、(18)、(19)、(21)可得：

$X^\prime=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 &\cdots & 12 & 13 & 14 & \cdots & 20 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 2 & \cdots &8 \end{pmatrix}$

$X^\prime X=\begin{pmatrix} 20 & 210 & 36 \\ 210 & 2870 & 636 \\ 36 & 636 & 204 \end{pmatrix}$

$(X^\prime X)^{-1}=\begin{pmatrix} 0.34799 & -0.03835 & 0.05814 \\ -0.03835 & 0.00535 & -0.00992 \\ 0.05814 & -0.00992 & 0.02557 \end{pmatrix}$

$\widehat{B}=(X^\prime X)^{-1}(X^\prime Y)=\begin{pmatrix} 135.85 \\ 13.38 \\ -38.51 \end{pmatrix}$

$\widehat{y}_i = \widehat{\beta}_1+\widehat{\beta}_2 x_i+\widehat{\beta}_3(x_i-x_0)D_1=70$

xi= 21

$\sum y_i^2=929653$

;;;

$R=\sqrt{1-\frac{\sum y_i^2-\widehat{\beta}_1 \sum y_i-\widehat{\beta}_2\sum x_i y_i-\widehat{\beta}_3 \sum x_i^\prime y_i}{\sum y_i^2-n\overline{y}^2}}=0.94$

$S=\sqrt{\frac{\sum(y_i-\widehat{y}_i)^2}{n-2}}=7.58$

$\widehat{y}_0\mp t_{\frac{a}{2}}(n-2)\cdot S=70\mp 16$

(t0.025(18) = 2.101)

3.預(yù)測結(jié)果分析

新田公司的XT50—M2001年第一季度在無錫的實際銷售量為55輛，和預(yù)測結(jié)果相比，可以說還在預(yù)測范圍內(nèi)，說明該車型在無錫的銷售用虛擬變量回歸預(yù)測法預(yù)測還是比較成功的。而之所以會在98年第四季度出現(xiàn)轉(zhuǎn)折點，作者還是了解的，原因就在于98年第四季度無錫市公布了50車型不允許上助力車牌照的規(guī)定，從而引起了50車型在無錫的銷售量逐步減少。當然了，這種情況銷售預(yù)測中出現(xiàn)得不多，因此使用也不是很廣。

三、回歸分析法總結(jié)

回歸分析預(yù)測法是一類比較經(jīng)典，也比較實用的預(yù)測方法。正是由于它經(jīng)典，因此也就成熟，再加上比較容易理解，運用也就比較廣泛。相比之下，其中的線性回歸預(yù)測法和非線性回歸預(yù)測法的運用更廣些。在實際使用過程中，如果在選擇具體的方法和模型時能對數(shù)據(jù)作較為詳細的分析，對散點圖的觀察分析也能仔細一點的話，預(yù)測結(jié)果也就會比較令人滿意的。當然了回歸分析最大的特點就是在偶然中發(fā)現(xiàn)必然，而實際情況卻常常是千變?nèi)f化的，有時偶然因素的影響也會超過必然，這時預(yù)測結(jié)果也就不能很如意，這就要求在預(yù)測工作中不能機械，要會靈活運用，要注意了解會影響預(yù)測結(jié)果的偶然情況，以便對預(yù)測結(jié)果進行適當修正，這樣才能使預(yù)測結(jié)果更接近實際，也才能使預(yù)測能更好地為經(jīng)濟建設(shè)服務(wù)。從新田公司的回歸分析預(yù)測結(jié)果來看，用線性回歸預(yù)測法來預(yù)測XTl50-T、XTl25—C和XTl25一W都得到了比較滿意的結(jié)果，而且各項指標也比較好，用虛擬變量回歸預(yù)測法預(yù)測XT50—M也得到了滿意的結(jié)果。因此可以基本上確定，用上述的預(yù)測方法來預(yù)測新田公司的這幾種車型是可行的。(參見下面二圖)。

Image:預(yù)測結(jié)果和實際銷量的比較.jpg