什么是大數定律

大數定律是指在隨機試驗中，每次出現的結果不同，但是大量重復試驗出現的結果的平均值卻幾乎總是接近于某個確定的值。

其原因是，在大量的觀察試驗中，個別的、偶然的因素影響而產生的差異將會相互抵消，從而使現象的必然規律性顯示出來。例如，觀察個別或少數家庭的嬰兒出生情況，發現有的生男，有的生女，沒有一定的規律性，但是通過大量的觀察就會發現，男嬰和女嬰占嬰兒總數的比重均會趨于50%。

大數定律的表現形式

定義1：設為概率空間(Ω,F,P)上定義的隨機變量序列(簡稱隨機序列)，若存在隨機變數，使對任意，恒有：

則稱隨機序列依概率收斂于隨機變量(也可以是一個常數)，并用下面的符號表示：

或

定義2：設為一隨機序列，數學期望)存在，令，若0(P)，則稱隨機序列服從大數定律，或者說大數法則成立。

定義3：設Fn(x)是分布函數序列，若存在一個非降函數F(x)，對于它的每一連續點x，都有，則稱分布函數序列Fn(x)弱收斂于F(x)。

定義4：設分別是隨機變量及的分布函數，若，則稱依分布收斂于，亦記為，且有：(1)若，則;(2)設c為常數，則的充要條件是。

逆極限定理：設特征函數列fn(t)收斂于某一函數f(t)，且f(t)在t=0時連續，則相應的分布函數列Fn(x)弱收斂于某一分布函數F(x)，而且f(t)是F(x)的特征函數。

大數定律有若干個表現形式。這里僅介紹其中常用的兩個重要定律：

(一)切貝雪夫大數定理

設是一列兩兩相互獨立的隨機變量，服從同一分布，且存在有限的數學期望a和方差σ2，則對任意小的正數ε，有：

該定律的含義是：當n很大，服從同一分布的隨機變量的算術平均數將依概率接近于這些隨機變量的數學期望。

將該定律應用于抽樣調查，就會有如下結論：隨著樣本容量n的增加，樣本平均數將接近于總體平均數。從而為統計推斷中依據樣本平均數估計總體平均數提供了理論依據。

(二)貝努里大數定律

設μn是n次獨立試驗中事件A發生的次數，且事件A在每次試驗中發生的概率為P，則對任意正數ε，有：

該定律是切貝雪夫大數定律的特例，其含義是，當n足夠大時，事件A出現的頻率將幾乎接近于其發生的概率，即頻率的穩定性。

在抽樣調查中，用樣本成數去估計總體成數，其理論依據即在于此。